relatividade do movimento no sistema categorial Graceli, onde se transforma em movimentos indeterminados e transcendentes.

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[pitG] Potencial Graceli de interações e transformações].

x´ =  (x  + V t);   y´= y;  z´= z;  t´=  (t + V x/c²),  [ = (1 – V²/c²)^1/2]

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x´ = x  + V t;   y´= y;  z´= z;  t´= t.

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v_x´ = (v_x + V)/(1 + v_xV/c²);   v_y´= v_y/(1 + v_xV/c²);  v_z´= v_z//(1 + v_xV/c²) .

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x₁ = x; x₂ = y; x₃ = z; x₄ = i c t.

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 = e  = , (= 1, 2, 3 , 4)

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1) As Leis da Física são variantes por um sistema categorial Graceli, onde as coordenadas não são necessárias; com isto os movimentos, massa, energia, espaço e tempo são transcendentes e indeterminados.

2) A velocidade da luz no vácuo (c) é uma constante em qualquer sistema de referência. porem, vácuo absoluto não existe, por mais que um meio possa estar vazio, sempre terá dentro dele radiações e temperatura, conforme entropias do sistema.

o físico holandês Hendrik Antoon Lorentz (1863-1938; PNF, 1902) pesquisou um modelo para estudar o movimento do elétron, no qual apresentou as hoje famosas transformações de Lorentz (TL):

x´ =  (x  + V t);   y´= y;  z´= z;  t´=  (t + V x/c²),  [ = (1 – V²/c²)^1/2]

onde, conforme vimos acima, (x´, y´, z´) representam as coordenadas de uma partícula em relação a um referencial cuja origem situa-se em um observador fixo O´; (x, y, z) são as coordenadas dessa mesma partícula em relação a um outro referencial cuja origem situa-se em um observador O que se desloca com uma velocidade V constante em relação a O´, e na direção do eixo dos x (x´), t (t´) representam os tempos marcados nesses dois referenciais, e c a velocidade da luz no vácuo. É fácil ver que, se c =  ( = 1), essas TL se transformam nas transformações de Galileu (TG) [nome este cunhado pelo físico austríaco Philipp Frank (1884-1966), em 1909 (Sitzungsberichte Berlin Akademie der Wissenschaften, Wien 118, p. 373)]:

x´ = x  + V t;   y´= y;  z´= z;  t´= t.

É interessante destacar que, em 1905 (Comptes Rendus Hebdomadaires des Sciences de l´Académie desSciences de Paris 140, p. 1504   ), o matemático e filósofo francês Jules Henri Poincaré (1854-1912) chegou às transformações de Lorentz (nome cunhado por ele nessa ocasião), ao estudar o eletromagnetismo maxwelliano (1873) e a gravitação newtoniana (1687). Sobre essas duas teorias ver verbetes nesta série.

                   Ainda em 1905 (Annalen der Physik 17, p. 891), o físico germano-suíço-norte-americano Albert Einstein (1879-1955; PNF, 1921) publicou seu famoso trabalho intitulado Elektrodynamik bewegterKörper (“Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento”), no qual desenvolveu a hoje famosa Relatividade Restrita de Einstein, baseada nos seguintes princípios:

1) As Leis da Física são Invariantes por uma Transformação de Lorentz;

2) A velocidade da luz no vácuo (c) é uma constante em qualquer sistema de referência.

                   Usando esses dois princípios, Einstein demonstrou uma série de resultados revolucionários, dentre os quais destacamos (em notação atual): - 1) Contração do Comprimento  - L₀ =  L -, onde L₀ é o comprimento de um bastão rígido que se desloca com uma velocidade V em relação a um observador em repouso, e L é o comprimento do bastão visto por esse observador; 2) Dilatação do Tempo -  -, resultado esse que significa dizer que o intervalo de tempo (dt) entre dois eventos, medido numa série de relógios sincronizados e em repouso, é maior do que o intervalo de tempo (, tempo próprio) entre esses mesmos eventos, medido por um observador solidário a um relógio que se desloca com a velocidade V constante em relação ao conjunto de relógios sincronizados acima referido; 3) Composição de Velocidades de Einstein:

v_x´ = (v_x + V)/(1 + v_xV/c²);   v_y´= v_y/(1 + v_xV/c²);  v_z´= v_z//(1 + v_xV/c²) .

É fácil ver que essas expressões se transformam nas que representam a Composição de Velocidades de Galileu, vista acima, quando se faz c =  ( = 1). É oportuno lembrar que, ainda em 1905 (Annalen der Physik 18, p. 639), Einstein demonstrou a célebre expressão: E = m₀  c² = m c², com m₀ representando a massa de repouso.

                   Em 1908 (Königlich Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen Nachrichten, Mathematisch-Physikalische Classe, p. 53), o matemático alemão Hermann Minkowski (1864-1909) (professor de Einstein), demonstrou que as TL representam uma espécie de “rotação” em um espaço quadridimensional:

x₁ = x; x₂ = y; x₃ = z; x₄ = i c t.

Registre-se que, nesse espaço minkowskiano, a velocidade é a aceleração são representados pelos 4-vetores (, ), definidos, respectivamente, por:

 = e  = , (= 1, 2, 3 , 4)

com  (, ict) representando o 4-vetor posição e , o tempo próprio. [H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski, H. Weyl and A. Sommerfeld, The Principle of Relativity (Dover Publications, Inc., 1952; Fundação Calouste Gulbenkian, 1978)].

efeito túnel no sistema categorial Graceli.

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[pitG] Potencial Graceli de interações e transformações].

 , ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}}$  [pitG]

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Uma analogia comumente utilizada para explicar tal fenômeno envolve uma colina e um trenó subindo em direção ao cume da colina. Imaginando que o trenó esteja subindo a colina, parte de sua energia cinética que se transforma em energia potencial gravitacional U. Quando o cume da colina é atingido, podemos pensar que o trenó tem energia potencial Ub. Se a energia mecânica inicial E do trenó for maior que Ub, o trenó poderá chegar do outro lado da colina. Contudo, se E for menor que Ub, a física clássica garante que não existe a possibilidade de o trenó ser encontrado do outro lado da colina. Na mecânica quântica, porém, existe uma probabilidade finita de que esse trenó apareça do outro lado, movendo-se para direita com energia E como se nada tivesse acontecido. Dizemos que a colina se comporta como uma barreira de energia potencial, exemplificando de maneira simplória o efeito Túnel.^[6]

Reflexão e tunelamento através de uma barreira potencial por um pacote de ondas. Uma parte do pacote de ondas passa através da barreira, o que não é possível pela física clássica.

Considerando um elétron e a densidade de probabilidade ${\displaystyle \Psi }$ da onda de matéria associada a ele, podemos pensar em três regiões: antes da barreira potencial (região I), a região de largura L da barreira (região II) e uma região posterior à barreira (região III). A abordagem da mecânica quântica é baseada na equação de Schrödinger, a qual tem solução para todas as 3 regiões. Nas regiões I e III, a solução é uma equação senoidal, enquanto na segunda - a solução é uma função exponencial. Nenhuma das probabilidades é zero, embora na região III a probabilidade seja bem baixa.^[2]

O coeficiente de transmissão (T) de uma determinada barreira é definido como uma fração dos elétrons que conseguem atravessá-la. Assim, por exemplo, se T= 0,020, isso significa que para cada 1000 elétrons que colidem com a barreira, 20 elétrons (em média) a atravessam e 980 são refletidos.

${\displaystyle T=e^{-2bL}}$ , ${\displaystyle b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}}$

Por causa da forma exponencial da equação acima, o valor de T é muito sensível às três variáveis de que depende: a massa m da partícula, a largura L da barreira e a diferença de energia de Ub-E entre a energia máxima da barreira e a energia da partícula. Constatamos também pelas equações que T nunca pode ser zero.^[6]

Aplicações

Teoria Relativística do Elétron no sistema categorial Graceli.

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[pitG] Potencial Graceli de interações e transformações].

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Efeito Uehling-Pasternack-Lamb.

Em 1928 (Proceedings of the Royal Society of London A117, p. 610.), o físico inglês Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984; PNF, 1933) formulou a Teoria Relativística do Elétron traduzida pela hoje célebre Equação de Dirac (ED):

                                           ,                ( = 1, 2, 3, 4)                           

onde  é uma matriz , a matriz de Dirac,  é o quadri-gradiente,  é uma matriz coluna , o spinor de Dirac, m₀ é a massa de repouso do elétron, c é a velocidade da luz no vácuo e , sendo h a constante de Planck..

                   Usando a ED, pode-se mostrar que a energia do elétron no átomo de hidrogênio (H) é dada por [José Maria Filardo Bassalo, Eletrodinâmica Quântica (Livraria da Física, 2006)]:

,     ()

onde  = e²/ (c) ~ 1/137, é a constante de estrutura fina, e n, , j representam, respectivamente, os números quânticos  principal, momento angular orbital e momento angular total. A expressão acima indica que os estados de energia (E_nj) de elétrons relativísticos no átomo de H e com os mesmos números quânticos n e j são degenerados (têm o mesmo valor), como os estados 2s_1/2 e 2p_1/2. Note que, segundo os espectroscopistas, s corresponde a  e p a .       

                   A degenerescência da ED indicada acima começou a ser estudada logo na década de 1930. Com efeito, em 1932 (Physical Review 44, p. 1031), os físicos norte-americanos Edwin Crawford Kemble(1889-1984) e Richard David Present (n.1913), e, em 1935 (Physical Review 48, p. 55) o também físico norte-americano Edwin Albrecht Uehling (1901-1985) fizeram alguns cálculos teóricos que indicavam que deveria haver uma pequena diferença entre os estados 2s_1/2 e 2p_1/2.. Nesses trabalhos, eles observaram que quando uma carga elétrica Q₀ > 0 é colocada no vácuo o seu campo coulombiano cria pares virtuais de elétron-pósitron e, portanto, elétrons desse par são atraídos para essa carga, enquanto os pósitrons tendem a se afastar para o infinito. Assim, a carga Q₀ será parcialmente diminuída pelas cargas dos elétrons virtuais. Essa situação é análoga ao que acontece quando uma carga elétrica polariza um meio material quando é nele colocada. [José Maria Filardo Bassalo, Eletrodinâmica Clássica (Livraria da Física, 2007)]. Por isso, aqueles pares virtuais fazem o vácuo comportar-se como um “meio polarizável” e, portanto, a situação acima referida equivale a uma “polarização do vácuo”.   

                   Em seu trabalho, Uehling observou que, em virtude da diminuição de uma carga elétrica colocada no vácuo como descrita acima, os estados eletrônicos s do átomo de H teriam maior probabilidade de penetrar no núcleo desse átomo, e, portanto, provocaria um abaixamento no nível de energia daqueles estados. Desse modo, ele demonstrou que o estado 2s_1/2 era 27 megahertz (27 MHz) menor do que o estado 2p_1/2. Por essa razão, tal resultado ficou conhecido como efeito Uehling. Em 1937 (Physical Review 51, p. 446), o físico norte-americano William Houston (1900-1968) mediu a diferença entre esses estados usando espectroscopia óptica. Essa medida foi confirmada pelo também físico norte-americano Robley C. Williams, em 1938 (Physical Review 54, p. 558).               

                   Uma nova explicação teórica para o efeito Uehling foi formulada pelo físico norte-americano Simon Pasternack (1914-1976), ainda em 1938 (Physical Review 54, p. 1113). Esse efeito, segundo esse físico, seria devido a uma repulsão de curto alcance, entre o elétron e o próton. Em vista disso, esse efeito passou a ser conhecido como efeito Uehling-Pasternack. Em 1939 (Physical Review 56, p. 384) e em 1940 (Physical Review 57, p. 458), o físico norte-americano Willis Eugene Lamb Junior (1913-2008; PNF, 1955) mostrou que o efeito Uehling-Pasternack não poderia ser explicado considerando-se o decaimento de um próton em um nêutron seguido de um méson positivo Por fim, em 1947 (PhysicalReview 72, p. 241), usando técnicas de microondas, Lamb e o físico norte-americano Robert Curtis Retherford (1912-1981) confirmaram esse efeito ao mostrarem, experimentalmente, que a passagem de uma microonda, de frequência  10³ MHz, através de átomos de H convertia o estado  2p_1/2 no estado 2s_1/2 desse elemento químico. A partir daí, esse resultado passou a ser conhecido apenas como efeito Lamb ou deslocamento Lamb (“Lamb shift”).